6.1. Общая характеристика дискретных систем

Дискретные системы отличаются от непрерывных систем тем, что сигналы в одной или нескольких точках таких систем представляют собой последовательность импульсов или цифровой код. В литературе к таким системам применяются еще термины: «импульсные системы», «цифровые системы» .

Дискретные сигналы (импульсы, цифровой код) получаются из непрерывных (аналоговых) сигналов квантованием по уровню (релейные системы), по времени (импульсные системы) или одновременно и по уровню, и по времени (цифровые системы) .

Системы, в структуре которых используются цифровые устройства, контроллеры, микропроцессоры, вычислительные комплексы, являются дискретными. Примерами дискретных систем управления являются системы, использующие в контуре управления цифровые регуляторы. Непрерывный сигнал, поступающий на вход такого регулятора, преобразуется в последовательность импульсов. Эта последовательность в соответствии с законом регулирования преобразуется в другую последовательность, которая превращается в непрерывный сигнал регулятора.

Непрерывная система с цифровым регулятором:

регулятор

ход выход

где: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь;

ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.

Цифровая система управления:

ЭВМ (Устройство управления)

цифровой код выход

Управляемый процесс

Примеры дискретных систем: система управления движением робота, система автономного слежения за целью, автопилот, цифровой контроллер турбины и генератора, радарные системы и др.

Дискретные системы обладают следующими преимуществами по сравнению с непрерывными системами:

повышенной чувствительностью;

меньшими габаритными размерами и массой;

удобством программирования.

6.2. Математические модели линейных дискретных систем

Модели состояния дискретной системы

Математические модели дискретных систем описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени t k , k = 0, 1, 2,…. .

Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t) и координат состояния x(t) являются последовательности:

{u(t k)},{y(t k)},{x(t k)}.

Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями.

Дискретные системы содержат в своей структуре цифровую (дискретную) и непрерывную (аналоговую) части. Для согласования этих частей в системе используются: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь и ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.

Преобразователь «аналог - цифра» - идеальный импульсный элемент, ставящий в соответствие непрерывной функции f(t) при t ≥ t 0 последовательность: {f(t k), k = 0, 1, 2,….} = f * (t).

Преобразователь «цифра - аналог» осуществляет преобразование последовательности: {f(t k), k = 0, 1, 2,….} в некоторую непрерывную функцию f ^ (t), которая является аппроксимацией исходной:

f ^ (t) ≈ f(t) , t ≥ t 0

Наиболее часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию (такой преобразователь называется экстраполятором или фиксатором нулевого порядка).

Построение дискретного представления непрерывной системы называется дискретизацией (квантованием).

Пусть линейная непрерывная стационарная система n-го порядка представлена своей внутренней моделью :

X’(t) = A * X(t) + B * U(t)

Предположим, что все переменные квантуются синхронно с постоянным шагом: ˅k, tk +1 – t k = h

Поэтому: t k = k h, k = 0, 1, 2,….

При этом обозначения эквивалентны:

x(t k) = x(kh) = x(k) = x k

В общем случае на текущий момент времени t для непрерывной системы (A,B,C), которая движется из начального состояния x(t k), можно записать в форме Коши:

Так как преобразователь «цифра - аналог» является фиксатором нулевого порядка, то на любом интервале ,

f[(k-2)T],…, f(0).

Метод получения требуемой аппроксимации основан на разложении f(t) в ряд на интервале между моментами выборки kT и (k+1)T:

f k (t) = f(t) для kT ≤ t < (k+1)T

Оценка первой производной f(t) в момент t = kT равна:

Аналогично для второй производной f’’(kT) запишем:

где: f’[(k-1)T] = 1/T [ f[(k-1)T] – f[(k-2)T] ]

Из полученных выражений для f’(kT) и f’’(kT) видно, что чем выше порядок производной функции, которую нужно аппроксимировать, тем требуется большее число предшествующих выборок. Так для аппроксимации значения f n (kT) число предшествующих выборок равно n+1.

На практике используется только первое слагаемое выражения (10), так как экстраполяция (восстановление) высокого порядка затратна при реализации устройств и требует сложных схемотехнических решений.

Устройство, в котором реализовано только слагаемое f(kT) из выражения (10) для временного интервала kT ≤ t < (k+1)T называют экстраполятором (фиксатором: оно фиксирует значение предыдущей выборки в течение периода квантования до следующей выборки) нулевого порядка (используемый полином имеет нулевой порядок).

Устройство, использующее два слагаемых выражения (10) называется фиксатором 1-го порядка и т.д.

Для фиксатора нулевого порядка:

Переходная функция фиксатора нулевого порядка равна:

h(t) = 1(t) – 1(t-T), где Т – период квантования.

Передаточная функция фиксатора нулевого порядка определяется:

Выходной сигнал фиксатора нулевого порядка является ступенчатой аппроксимацией непрерывного сигнала, при этом с увеличением частоты (уменьшением периода) квантования повышается точность этой аппроксимации.

Использование Z -преобразования

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем.

Преобразование Лапласа квантованного сигнала определяется выражением:

Функция F*(s) является иррациональной, поскольку содержит множитель e - Ts . Из-за этого множителя возникают трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Поэтому для преобразования функции F*(s) в рациональную функцию комплексную переменную s заменяют на комплексную переменную z: z = e Ts . Тогда:

Для любой функции f(t), имеющей преобразование Лапласа, существует также Z-преобразование.

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование являются однозначными, для Z-преобразования обратное Z-преобразование не является однозначным.

Корректным результатом обратного Z-преобразования функции F(z) является функция f(kT), которая равна функции f(t) только в моменты квантования t = kT.

Основные свойства Z-преобразования (без доказательств)

Суммирование и вычитание:

Если функции f1(t) и f2(t) имеют Z-преобразования:

То выполняется следующее равенство:

Умножение на константу:

Если функция F(z) есть Z, то:

Сдвиг во временной области:

Если функция f(t) имеет Z-преобразование, то:

Где: n – положительное целое число.

Умножение оригинала на экспоненту:

Теорема о начальном и конечном значении:

Если f(t) имеет Z-преобразование F(z) и существует предел: lim F(z) при z→∞, то:

Если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса |z| =1или вне ее на Z-плоскости:

Ограничения метода Z-преобразования:

время квантования должно быть намного меньше определяющей постоянной времени системы;

Z-преобразование выходного сигнала линейной системы определяет значения функции f(t) только в моменты квантования и не содержит информацию о значениях функции f(t) между моментами квантования;

При анализе линейной системы методами Z-преобразования передаточная функция непрерывной системы W(s) должна иметь полюсов, по крайне мере, на один больше, чем нулей (должна быть строго правильной функцией) для отсутствия разрыва в импульсной переходной характеристики при t = 0.

Передаточные функции дискретной системы

Дискретным аналогом оператора дифференцирования непрерывных функций d/dt является оператор сдвига вперед R, определяющийся соотношением:

Инверсией оператора сдвига вперед является оператор сдвига назад R -1:

Оператор R -1 – дискретный аналог оператора интегрирования.

Пусть модель дискретной системы с одним входом и одним выходом представлена разностным уравнением общего вида:

Запишем это уравнение в операторной форме:

Обозначим:

Теперь модель дискретной системы принимает следующий вид:

где: H(R) – дискретная операторная передаточная функция системы.

Пусть дискретная система имеет векторный вход и векторный выход, и описывается матричной моделью состояний :

x(k+1) = M * x(k) + N * U(k)

Применим к этой модели оператор сдвига вперед, получим:

x(k) = (R*E – M) -1 * N * U(k)

y(k) = C * (R*E – M) -1 * N * U(k)

H(R) = C *(R*E – M) -1 * N – матричная дискретная операторная передаточная функция системы.

Применим Z-преобразование к матричной модели состояний, получим:

Z = Z[ M * x(k) + N * U(k)]

Z = Z

z (X(z) – X(0)) = M * X(z) + N * U(z)

где: X(z) = Z; Y(z) = Z; U(z) = Z

Отсюда получим:

X(z) = (z*E – M) -1 *

Y(z) = C *(z*E – M) -1 * z *x(0) + C *(z*E – M) -1 * N * U(z)]

По аналогии с непрерывными системами введем понятие передаточной функции. Пусть дискретная система в начальный момент была в покое: x(0)=0; тогда:

Y(z) = C *(z*E – M) -1 * N * U(z)]

где: H(z) = C *(z*E – M) -1 * N – передаточная функция дискретной системы.

Связь между функциями H(R) и H(z): замена оператора R на переменную z, если в начальный момент система была в покое.

Где: X*(s)- преобразование Лапласа дискретного сигнала

(11)

Если выходной сигнал системы непрерывный, то выражение (11) определяет выходной сигнал Y(z) только в моменты квантования.

W(z) – дискретная передаточная функция линейной системы. Она связывает Z-преобразование входного сигнала X(z) с Z-преобразованием выходного сигнала Y(z) подобно тому, как передаточная функция непрерывной системы W(s) связывает изображения Y(s) и X(s). В выражении (11) Z-преобразование определяет непрерывный сигнал y(t) только в дискретные моменты времени t = kT. В большинстве случаев потеря информации между моментами квантования не имеет значения. В других случаях, если в сигнале y(t) между моментами квантования содержатся колебания большой амплитуды, метод Z-преобразования дает неправильные результаты.

Особенности дискретного управления. Работа дискретных систем связана с воздействием, передачей и преобразованием последовательности импульсов. В отдельные точки ДС сигналы управления поступают в некоторые заданные или произвольные промежутки времени. Характерной чертой любой ДС является наличие импульсных элементов (ИЭ), с помощью которых осуществляется преобразование непрерывных величин в последовательности дискретных сигналов.

Современная теория управления располагает универсальным методом исследования дискретных систем на основе специального математического аппарата - дискретного преобразователя Лапласа, который позволил максимально приблизить методологию исследования ДС к методологии исследования непрерывных систем. Однако работа ДС связана с квантованием непрерывных сигналов и теория управления дискретными системами имеет особенности, обусловленные наличием в этих системах импульсных элементов.

При квантовании по уровню непрерывный сигнал х(t) преобразуется в последовательность дискретных сигналов, фиксированных в произвольные моменты времени при условии Dx = const. Системы, в которых используются сигналы, квантованные по конечному числу уровней (часто 2-3 уровня), называются релейными системами. Квантование по уровню является нелинейным преобразованием сигналов, следовательно, релейные системы относятся к классу нелинейных систем.

При квантовании по времени сигналы фиксируются в дискретные моменты времени Dt = const. При этом уровни сигнала могут принимать произвольные значения. Системы, реализующие квантование сигналов по времени, называются импульсными системами (ИС). Квантование по времени осуществляется импульсным элементом, который в частном случае пропускает входной сигнал х(t) лишь в течение некоторого времени.

При квантовании по уровню и по времени непрерывный сигнал заменяется дискретными уровнями, ближайшими к значениям непрерывного сигнала в дискретные моменты времени Dt = const. Дискретные системы, реализующие сигналы, квантованные по уровню и по времени, называются релейно-импульсными, или цифровыми. В этих системах квантование по уровню и по времени осуществляется кодоимпульсным модулятором или цифровым вычислительным устройством.

Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную, определенную в дискретные моменты времени nТ, n=0,1, 2, … Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(nТ), где Т - период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Т непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция х(nТ). Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией в общем случае не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.

Отсчеты по шкале времени удобно вести в целочисленных единицах периода квантования Т. С этой целью вместо переменной t непрерывной функции введем новую переменную t=t/T, при этом непрерывной функции x(t) будет соответствовать решетчатая функция х(n) x n .

Импульсная модуляция. Последовательность импульсов в ИС подвергается импульсной модуляции. Процесс импульсной модуляции состоит в изменении какого-либо параметра периодически повторяющихся импульсов. Применительно к немодулированной последовательности импульсов (рис. 5.1.1, а) такими параметрами являются амплитуда импульсов А, длительность bT, и период повторения Т. Величина, определяющая закон модуляции, называется модулирующей величиной.

Если по закону изменения модулирующей величины изменяется амплитуда импульсов, то модуляция называется амплитудно-импульсной (АИМ), если изменяется ширина - широтно-импульсной (ШИМ), при изменении периода - временно-импульсной модуляцией (ВИМ).

Вид модуляции, при которой параметры последовательности импульсов изменяются в зависимости от значений модулирующей величины в фиксированные равноотстоящие друг от друга моменты времени, называется импульсной модуляцией первого рода (рис. 5.1.1, в). В этом случае модулируемый параметр амплитуда, ширина или частота импульса, определяется значением модулирующей величины в равноотстоящие дискретные моменты времени.

Вид модуляции, при которой модулируемые параметры последовательности импульсов изменяются в соответствии с текущим значением модулирующей величины, называется импульсной модуляцией второго рода (рис. 5.1.1, г). В этом случае модулируемый параметр изменяется в течение времени существования импульса.

Параметры импульсных элементов (ИЭ), выполняющих в системах управления дискретизацию аналоговых сигналов и модуляцию импульсов.

Коэффициент усиления k и импульсного элемента - отношение величины модулируемого параметра импульсов к величине входного сигнала х вх (t) в соответствующий дискретный момент времени. Например, коэффициент усиления амплитудного импульсного элемента k и = А/x вх, где А - амплитуда импульса, х вх - соответствующее дискретное значение входной величины.

Период повторения импульсов Т или частота повторения импульсов w 0 = 2p/Т.

Длительность импульсов t=bТ, где b - скважность импульсов, показывающая, какую часть периода повторения импульсов занимает длительность импульса.

Форма импульса S(t) может быть прямоугольной, треугольной, синусоидальной, экспоненциальной, и пр.

Характеристика импульсного элемента - зависимость величины модулируемого параметра импульсов от соответствующих дискретных значений входной величины. Может быть как линейной, так и нелинейной (например, логарифмической), а также комбинированной.

Импульсные элементы разнообразны по конструкции (механические, электромеханические, фотоэлектрические, электронные). В качестве импульсного элемента может быть как простейший ключ, так и любое сложное устройство, например, контроллер. Наиболее широкое применение на практике получили амплитудные импульсные элементы, осуществляющие амплитудно-импульсную модуляцию первого и второго рода. В дальнейшем будем рассматривать, в основном, импульсные системы с амплитудными импульсными элементами первого рода.

Импульсные системы также могут быть линейными и нелинейными. В линейных ИС соблюдается принцип суперпозиции: реакция ИС на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. В этих системах параметры импульсного элемента не зависят от внешних воздействий и переменных, характеризующих состояние системы. К линейным ИС относятся, например, амплитудно-импульсные системы с линейной непрерывной частью и с линейной характеристикой импульсного элемента. В дальнейшем будут рассматриваться линейные импульсные системы, в которых ИЭ может быть включен до непрерывной части, после нее или между отдельными частями непрерывной системы. В замкнутых ИС импульсный элемент может находиться в прямой части системы, в цепи обратной связи или вне замкнутого контура.

САУ с цифровыми ЭВМ или цифровыми вычислительными устройствами (ЦВУ) называются цифровыми системами автоматического управления, или цифровыми автоматическими системами (ЦАС).

Функциональные схемы цифровых систем. В системы автоматического управления ЦВУ можно включать вне замкнутого контура управления, в замкнутый контур управления и в качестве элемента сравнения. Наиболее характерные примеры включения ЦВУ в состав систем управления приведены на рис. 2.

В системах первого типа (ЦВУ вне замкнутого контура управления, рис. 1) с помощью аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) непрерывное (аналоговое) воздействие u(t) преобразуется в цифровой код u k . ЦВУ на основании поступающей информации вырабатывает оптимальное задающее воздействие u" k . Последнее с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) преобразуется в непрерывный сигнал u"(t) и поступает на элемент сравнения (ЭС) замкнутой системы, сигнал которого поступает на вход объекта управления (ОУ). Замкнутый контур системы может быть непрерывным либо импульсным. Достоинство такой ЦАС состоит в простоте изменения программы ЦВУ, в соответствии с которой вырабатывается задающее воздействие.

В системах второго типа (ЦВУ в контуре управления, рис. 2) вычислительное устройство, включенное в прямую цепь замкнутого контура системы, выполняет функцию последовательного корректирующего устройства. В системах третьего типа (рис. 5.1.2-3) ЦВУ включено в цепь местной обратной связи, охватывающей непрерывную часть ОУ системы, и является параллельным корректирующим устройством. Цифровые корректирующие устройства в этих системах позволяют реализовать сложные алгоритмы управления.

В системах четвертого типа (рис. 5.1.2-4) ЦВУ выполняет функции элемента сравнения и корректирующего устройства. В этой системе на цифровой элемент сравнения задающее воздействие u k и управляемая величина y k поступают в цифровой форме через соответствующие АЦП. На выходе элемента сравнения сигнал рассогласования также получается в виде кода e k . С помощью преобразователя ЦАП цифровой код преобразуется в непрерывный сигнал e(t), поступающий на ОУ системы. ЦАС четвертого типа обладает всеми качествами первого, второго и третьего типов, а благодаря более высокой разрешающей способности элемента сравнения обладает более высокой точностью.

Преобразователи АЦП (аналог > код) являются устройствами, осуществляющими автоматическое преобразование непрерывно изменяющихся во времени аналоговых физических величин в дискретную цифровую форму с эквивалентными значениями числовых кодов в определенной системе счисления (двоичной, восьмеричной, десятичной и т.п.).

В качестве входных аналоговых величин обычно действуют временные интервалы, углы поворота, электрические напряжения или токи, частота колебаний, фазовые сдвиги. Важной характеристикой АЦП является количество каналов, определяющее максимальное число датчиков аналоговых величин, которые могут быть одновременно подключены к преобразователю.

Из множества применяемых преобразователей можно выделить три основных группы:

1) преобразователи пространственных перемещений и углов поворота в цифровой код;
2) преобразователи электрических величин (напряжений, токов, и др.) в код;
3) преобразователи интервалов времени в цифровой код.

Преобразователи угол-код делятся на преобразователи считывания и преобразователи последовательного счета. В преобразователях считывания угол поворота вала выдается со считывающего устройства непосредственно в двоичном коде. Основным элементом преобразователя является диск или барабан с кодовой шкалой (маской). Съем кодированных сигналов осуществляется с помощью фотоэлектрических устройств, контактных щеток, магнитных головок и другими способами (одно считывающее устройство на один разряд кода). Высокая точность обычно реализуется с помощью фотоэлектрических преобразователей (до 14-18 кодовых разрядов).

Преобразователи угол - код с обычной двоичной кодовой шкалой, как правило, не применяются, так как имеется вероятность появления ошибок считывания из-за того, что в двоичной системе счисления при переходе от одного числа к другому могут меняться цифры сразу в нескольких разрядах. Для устранения этого недостатка применяются диски с масками специальных кодов - двоичного кода Грея или двоично-сдвинутого кода Баркера, ошибки считывания в которых не превышают единицы младшего разряда.

В преобразователях последовательного счета угол поворота вала преобразуется в количество импульсов. Для этого используется закрепленный на валу диск или барабан с метками регистрирующих датчиков (контактных, фотоэлектрических, и др.). При повороте диска в считывающем устройстве формируются импульсы, число которых зависит от угла поворота вала и плотности меток. Широкое применение имеют также преобразователи, работающие по методу счета, осуществляющие последовательное преобразование угол > временной интервал > код.

Преобразователи напряжения в цифровой код делятся на преобразователи, работающие по принципу последовательного счета и по принципу сравнения (взвешивания).

Для преобразователей, работающих по принципу последовательного счета характерно промежуточное преобразование измеряемого напряжения в пропорциональный временной интервал, который заполняется импульсами генератора определенной частоты, число которых переводится в кодовую форму. В преобразователях, работающих по принципу сравнения, входное напряжение сравнивается с эталонным, формируемым через ЦАП от счетчика выходного кода.

Преобразователи ЦАП (код > аналог) являются устройствами, осуществляющими автоматическое декодирование входных величин, представляемых числовыми кодами, в эквивалентные им значения какой-либо физической величины, чаще всего - напряжения.

Для преобразования цифрового кода в напряжение используются сопротивления, соединенные с кодовым счетчиком по определенной схеме, включение которых на источник эталонного напряжения происходит в соответствии с декодируемым числом, при этом выходное напряжение, снимаемое с нагрузки, пропорционально декодируемому числу. Основным типом преобразователей код-напряжение являются преобразователи с суммированием напряжений на аттенюаторе сопротивлений. Чтобы преобразовать числа разных знаков, необходимо на входе схемы установить знаковый триггер, а на выходе схемы предусмотреть возможность получения напряжения разной полярности. Преобразователи обладают высоким быстродействием, достаточной точностью (точность преобразования может быть доведена до 0,05... 0,1 %), имеют сравнительно простую схему и обеспечивают пропорциональное преобразование кодов с числом разрядов n ? 10, что вполне достаточно для цифровых автоматических систем.

Дискретные системы автоматического управления

Дискретные системы - это системы, содержащие элементы, которые преобразуют непрерывный сигнал в дискретный. В дискретных системах сигналы описываются дискретными функциями времени.

Квантование - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. В зависимости от используемого вида квантования системы можно классифицировать:

Импульсные системы, использующие квантование по времени;

Релейные системы, использующие квантование по уровню;

Цифровые системы, использующие квантование по уровню и по времени (комбинированное квантование).

Квантование осуществляется с помощью импульсных модуляторов, релейных элементов, а также различного рода цифровых ключей.

Модуляция - процесс квантования по времени. В импульсных системах в основном используются следующие виды модуляции:

Амплитудно-импульсная (АИМ)- амплитуда импульса пропорциональна амплитуде входного сигнала (рис. 1а);

Широтно-импульсная (ШИМ)- широта импульса пропорциональна амплитуде входного сигнала (рис. 1б);

Фазоимпульсная (ФИМ)- фаза импульса пропорциональна амплитуде входного сигнала (рис. 1в).

В релейных системах управления используется импульсная манипуляция (ИМ), в цифровых системах используются кодоимпульсная модуляция (КИМ), при этом каждому значению амплитуды соответствует «пачка» импульсов, представляющая код амплитуды передаваемого сигнала. Этот метод квантования обладает хорошей помехоустойчивостью и широко используется в цифровых системах управления.

На рис. 2 приведен пример, иллюстрирующий процесс передачи дискретных сообщений с использованием кодоимпульсной модуляции.

При этом квантование по времени определяется тактовой частотой управляющей ЭВМ, а квантование по уровню осуществляется с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

Импульсный элемент (ИЭ). Математическое описание импульсного элемента

Импульсный элемент - устройство для преобразования непрерывного сигнала в последовательность модулированных импульсов.

Импульсный элемент может быть представлен в виде двух частей: идеального импульсного элемента и формирователя импульсов.

Идеальный импульсный элемент (рис. 3) преобразует непрерывный

сигнал в последовательность идеальных импульсов в виде (t) -функций, площади которых пропорциональны амплитуде передаваемого сигнала.

Для выходного сигнала импульсного элемента можно записать следующее соотношение

где x - решетчатая функция, которая представляет собой значение непрерывной функции в дискретные моменты времени.

При x(t) = 1(t)

Для любого x(t)

Это физически не реализуемо и является математической идеализацией, вводимой для упрощения исследования дискретных систем.

Реальный импульсный элемент (рис. 4) - импульсный элемент с конечной длительностью импульса. Он состоит из идеального импульсного элемента и формирователя.

Формирователь преобразует идеальные импульсы в импульсы длительности - T

Импульс конечной длительности можно представить в виде (рис. 5)

Функция веса формирующего звена представляет собой импульс длительностью - T, ее можно представить как сумму двух единичных функций противоположного знака, сдвинутых на T

Передаточная функция формирователя имеет вид

Формирователь при = 1 называется фиксатором (или экстраполятором нулевого порядка), при этом его передаточная функция равна

Рассмотрим импульсный элемент при = 1 (рис. 6).

Если на вход подается аналоговый сигнал, то на выходе получаем ступенчатый сигнал. Рассмотрим схему (рис. 7), состоящую из АЦП и ЦАП:

Если на вход схемы поступает аналоговый сигнал, то на выходе АЦП получаем код, значение которого соответствует амплитуде входного сигнала, а на выходе ЦАП получаем ступенчатый сигнал.

Таким образом, для того, чтобы представить процессы в цифровых системах необходимо использовать идеальный ИЭ и фиксатор. Импульсную систему можно представить в виде идеального импульсного элемента и непрерывной инерционной части, а цифровую систему в виде реального импульсного элемента и непрерывной инерционной части. Характерная схема импульсной системы управления приведена на рис. 8.

Цифровая система автоматического управления (рис. 9) состоит из аналого-цифрового преобразователя (АЦП), цифро-аналогового преобразова-теля (ЦАП), цифрового автомата (ЦА) и объекта управления.

Эту схему можно представить в виде, изображенном на рис. 10.

При этом цифровой автомат реализует алгоритм управления в реальном масштабе времени (K a (z) - передаточная функция алгоритма), т. е. в течение интервала времени равного периоду дискретности -Т.

В цифровой системе квантование по уровню осуществляется с помощью АЦП, а по времени задается цифровым автоматом. Выходной преобразователь одновременно является экстраполятором нулевого порядка, сигнал на его выходе в течение периода дискретности является постоянным.

Особенности дискретного управления. Работа дискретных систем связана с воздействием, передачей и преобразованием последовательности импульсов. В отдельные точки ДС сигналы управления поступают в некоторые заданные или произвольные промежутки времени. Характерной чертой любой ДС является наличие импульсных элементов (ИЭ), с помощью которых осуществляется преобразование непрерывных величин в последовательности дискретных сигналов.

Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную, определенную в дискретные моменты времени nТ, n=0,1, 2, … Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(nТ), где Т – период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Т непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция х(nТ). Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией в общем случае не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.

Импульсная модуляция. Последовательность импульсов в ИС подвергается импульсной модуляции. Процесс импульсной модуляции состоит в изменении какого-либо параметра периодически повторяющихся импульсов. Применительно к немодулированной последовательности импульсов (рис. 5.1.1, а) такими параметрами являются амплитуда импульсов А, длительность bT, и период повторения Т. Величина, определяющая закон модуляции, называется модулирующей величиной.

К дискретным системам относятся импульсные системы регулирования и системы, включающие в себя цифровую вычислительную машину (ЦВМ).

Импульсная система регулирования отличается от непрерывной наличием в канале управления импульсного элемента, преобразующего непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной формы.

(t) ИЭ  * (t)

На рисунке импульсный элемент ИЭ установлен в канале управления, который является каналом ошибки. Последовательность импульсов с периодом Т поступает на непрерывную часть системы с передаточной функцией W (S ). Как и ранее g (t ) - входное воздействие, x (t )- регулируемая величина, ε (t )- ошибка САР, f (t )- возмущение.

Форма импульсов, генерируемых импульсным элементом, вообще говоря, оказывает влияние на динамику системы регулирования. Однако, в том случае, когда длительность импульсов мала по сравнению со временем переходного процесса непрерывной части, можно пренебречь влиянием, как формы импульса, так и принципа модуляции (амплитудная или широтная).

В этом случае последовательность реальных импульсов может быть заменена последовательностью δ -функций, модулируемых по площади. Реакция непрерывной части на каждый такой импульс представляет в этом случае ее весовую функцию (импульсную переходную характеристику), умноженную на коэффициент, равный площади импульса.

Огромные вычислительные и логические возможности ЭВМ определяют большие перспективы их использования при управлении объектами. Они вводятся в систему регулирования, когда требуется обрабатывать большие объемы информации и когда на ЭВМ возлагается решение ряда задач с обслуживанием нескольких зависимых или независимых каналов управления.

В наиболее схематическом виде система регулирования с ЭВМ изображена на рисунке.

Здесь g 1 , g 2 ,… g n -входные воздействия.

x 1, x 2, x 3 … x n -регулируемые величины.

u 1, u 2, u 3 … u n - выходные управляющие воздействия.

f 1, f 2, f 3 … f n - возмущения.

Рассмотрение системы со многими регулируемыми величинами представляет собой весьма громоздкую задачу. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда ЭВМ вводится в одиночный контур с одной регулируемой величиной х и одним входным воздействием g, к которому могут быть сведены многие практические задачи.

АЦП γε 1 ЦАП ε 2 ε 3 ε 4

Здесь: АЦП- преобразователь аналог-код;

ЦАП- преобразователь код-аналог;

Т - период дискретности ЭВМ;

W о (s ) - передаточная функция объекта;

D (z )- алгоритм работы ЭВМ;

τ - временное запаздывание, вносимое ЭВМ;

W э (s )- передаточная функция экстраполятора.

Обычно экстраполирующее устройство представляет собой фиксатор, удерживающий выходной сигнал ЭВМ на одном уровне в течение такта работы машины. Этот случай, так называемого экстраполятора нулевого порядка, является наиболее распространенным. В более сложных случаях экстраполятор может внутри такта работы машины изменять выходной сигнал по линейному закону (экстраполятор первого порядка ), по закону квадратичной параболы (экстраполятор второго порядка ) и т.д.

Нелинейность, вносимая входными и выходными преобразователями, может быть представлена в виде нелинейных статических характеристик релейного типа. Они представляют собой многоступенчатую релейную характеристику. Число уровней характеристики m связано с числом двоичных разрядов n зависимостью.

m =2 n -1

Во входных преобразователях число разрядов обычно велико (10 - 20). Поэтому влиянием нелинейности АЦП часто можно пренебречь.

Во входных (ЦАП) преобразователях число разрядов бывает обычно малым, достигая в пределе одного. Это объясняется тем, что выходной преобразователь установлен, по существу, в канале ошибки САР, поэтому нелинейность выходного преобразователя может оказывать влияние на динамику замкнутой САР с ЭВМ. И это надо учитывать.

Во многих случаях представляется возможным пренебречь влиянием нелинейностью выходных преобразователей. Это позволяет свести САР с ЭВМ к линейной импульсной системе и воспользоваться хорошо развитым аппаратом расчета таких систем.

В простейшем случае, когда на ЭВМ возлагается задача определения ошибки = g - x необходимо положить на структурной схеме D (z )=1 . При использовании т.н. дискретной коррекции на ЭВМ возлагается задача улучшения динамических характеристик САР. В этом случае D (z )  1 .

На схеме наиболее простой способ использования ЭВМ в САР. Возможны более сложные случаи комбинированного управления, когда ЭВМ формирует выходной сигнал в функции не только ошибки = g - x но и вводит дополнительно сигнал пропорциональный скорости и ускорению изменения входного воздействия g / (t) и g // (t). Могут встречаться и иные схемы.